Қызылорда облысы
Шиелі
кенті
№45
«Ақ Орда» мектеп – гимназиясы
Тест тапсырмаларындағы
күрделі
есептерді шығару тәсілдері
Меруерт
Досымова Нұрмағанбетқызы.
2010
жыл.
П І К І Р
Бұл әдістемелік
құрал 11 - сыныптарға
“ Тест тапсырмаларындағы күрделі есептерді шығару
тәсілдері ” деген айдармен берілген. Әдістемелікте №45 «Ақ
Орда» мектеп-гимназиясының математика
пәнінің мұғалімі Досымова Меруерт тестте кездесетін
күрделі есептердің шығарылуын жан-жақты ықшамды
түрде оқушыға түсінікті жолдармен шығарған.
Оқушылардың ойлау, есте
сақтау, белсенділік пен білім сапасын дамыту мақсатында
жинақталған материалдар қажетке жарайды деген сенімдемін.
Пікір жазған: Қ.Сәрсенбаева.
Әдістемелік
кабинет әдіскері.
Алғы сөз
11-сыныптарға арналған
математикадан «Тест тапсырмаларындағы есептерді шығару
тәсілдері» әдістемелік нұсқауында тесте кездесетін
күрделі есептердің шығарылу жолдары жинақталған.
Мектеп бітіруші оқушылардың
өздігінен есептер шығарып дайындалуына
нұсқаулардың пайдасы зор. Мектеп түлектерінің
математика курсы бойынша негізгі білімді икемділікті және дағдыны
қалыптастыруға арналған. Жинақтың басты
мақсаты – міндетті деңгейдегі материалдарды оқушыларға
үйрету. Өздігінен орындайтын жұмыстар
оқулықтағы тақырыптарға сәйкес
көрсетіліп тұр. Мысалы: мәтінді есептер, шектеусіз периодты
ондық бөлшекті жәй бөлшекке келтіру,
қысқаша көбейту формуласын бөлшек бөліміндегі
иррационалдықтан құтылу, пропорция, бір айнымалысы бар
сызықтық теңдеу, прогрессия, тригонометриялық
өрнектерді ықшамдау, есептеу, логарифмдік теңдеулер,
тригонометриялық теңдеулер, бір айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу, функцияның
ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға,
функцияның өзгеру облысын анықтау, күрделі
функцияның туындысын табу қарастырлған.
Қазіргі заман талабына сай
шығарып отырған тест тапсырмаларына сәйкес, есептерді
шығару жолдарын көрсету арқылы жас ұстаздарға,
жоғарғы сынып оқушыларына көмек көрсету
мақсатында жазып отырған еңбегімді қабыл
алыңыздар, құрметті оқырмандар.
]
№1.Бір мезгілде А және В
пунктерінен бір –біріне қарама-қарсы бағытта жолға
шыққан екі велосипедші 2 сағаттан соң кездесті.А-дан
В-ға дейінгі қашықтық 42 км-ге тең.Егер бірінші
велосипедші сағатына екіншісіне қарағанда
Шешуі:Екінші
велосипедшінің жылдамдығы х км\сағ болсын,онда бірінші
велосипедшінің жылдамд
В 2х 2(х+3) 2х
(х+3) км\сағ болды.Сонда есептің шарты бойынша мынадай
теңдеу шығады:2х+2(х+3)=42,бұдан х=9 км\сағ.
Демек,екінші
велосипедшінің жылдамдығы 9 км\сағ,ал бірінші
велосипедшінің жылдамдығы х+3=9+3= 12км\сағболған.
Жауабы:А) 12 км\сағ,9
км\сағ.
№2.Егістік жерді жеке
жыртып шығу үшін бірінші тракторға екіншісіне
қарағанда 1 күнге кем уақыт қажет.Осы екі трактор
егістік жерді 2 күн бірігіп жыртты,ал сосын егістік жердің
қалған бөлігін екінші трактордың жеке өзі 0,5
күнде жыртып шықты.Жеке-жеке жұмыс істесе,тракторлардың
әрқайсысы егістік жерді қанша уақытта жыртып бітіре
алады?
Шешуі: Бірінші трактор егістік
жерді х күнде,ал екінші трактор у күнде жыртып бітірсін.
Сонда есептің шартына
байланысты мынадай теңдеулер жүйесі шығады:
Бұдан x=4,y=5.
Демек,егістік жерді бірінші трактор 4 күнде,ал екінші трактор 5
күнде жыртып бітіреді.
Жауабы: Е)4;5
№3.Жүзім кептірілген кезде
өзінің массасының 65%-н жоғалтады.40 кг таза
жүзімнен қанша килограмм кептірілген жүзім алуға
болады?
Шешуі:40 кг таза жүзім
кептірілгенде өзінің массасының 
жоғалтады.Сонда
Жауабы:Е)
№4.Жаңа жұлынған
саңырауқұлақтарды кептіргенде, ол өз
салмағының 98%-ін жоғалтады.4 кг кептірілген саңырауқұлақ алу
үшін қанша жаңа жұлынған
саңырауқұлақ қажет?
Шешуі:4 кг кептірілген
саңырауқұлақ үшін х кг жаңа
жұлынған саңырауқұлақ қажет
болсы.Есептің шарты бойынша
Х-0,98х=0,02 x=4 бұдан 2x=400, x=200 кг
Жауабы: Е)
№5.Ағаш кесушілердің үш
бригадасының жұмысына 36 мың теңге
төленді.Бірінші және үшінші бригадаларға төленген
ақша екінші бригадаға төленген ақшадан 2 есе
артық,ал екінші және үшінші ьригадаларға төленген
ақша бірінші бригадаға төленгеннен 3 есе артық
болса,осыбригадалардың әрқайсысына қанша ақша
төленеді?
Шешуі: Бірінші,екінші
және үшінші бригадаларға төленген ақшалар
сәйкесінше х,у және z болсын.Сонда есептің шартына
сәйкес мынадай теңдеулер жүйесі шығады:
Бұдан, х=9мың,
y=12мың, z=15 мың.
Жауабы:
Е)9 мың;12 мың;15 мың
№6.Өзен ағысының
жылдамдығы 2,2 км\сағ.Катердің өз жылдамдығы 15,3
км\сағ.Егер өзен ағысымен 3 сағат,ал өзен
ағысына қарсы 4 сағат жүрсе, онда катер қандай
жол жүргені?
Шешуі: Катердің
жүрген жолы мынаған тең:
S=(15,3+2,2)·3+(15,3-2,2)·4=104,9 км.
Жауабы:А)
№7.Қатер өзен
ағысымен
Шешуі: Қатердің
тынық судағы жылдамдығы х км\сағ болсын.Сонда есептің шартына
сәйкес мынадай теңдеу
шығады.
Бұдан х1=-1 км\сағ(бұл түбір жарамсыз),х=16
км\сағ.Демек қатердің
өзен ағысымен жүргендегі жылдамдығы x+4=16+4=20
км\сағ болған.
Жауабы: Е) 20 км\сағ
№8. Бір пункттен бір уақытта,
бір бағытта екі автомашина шықты.Бірінші автомашина 40км\сағ
жэылдамдықпен жүрген,ал екіншісінің жылдамдығы
біріншісінің жылдамдығының 125%-ін құрайды.Осы
пунктен,осы бағытта 30 минуттан кейін үшінші автомашина
шықты.Бірінші машина кездестіргеннен кейін екіншісін 1,5 сағаттан
кейін қуып жетті.Үшінші автомашинаның жылдамдығы
қандай?
Шешуі: Үшінші
автомашинаның жылдамдығы х км\сағ болсын.Ол бірінші
автомашинаны t сағатта, ал екінші t2сағатта қуып
жетсін.Есептің шарты бойынша
Бұдан х=60 км \сағ
№9.Мастер үш күнде 36
деталь жасады.Бірінші ,екінші ,үшінші күндері жасалған
детальдар саны 4,3 және 2 сандарына пропорциионал.Алғашқы екі
күнде қанша деталь жасалған?
Шешуі:Бұл есеп берілген
сандв пропорциянал бөлуге берілген:
1)
2)
3)
Демек, мастер алғашқы екі күнде 16+12=28 деталь жасалған.
Жауабы: В) 28
№10.Егер екі еселенген бірінші мен
үш еселенген екінші санның қосындысы 23, ал төрт
еселенген еінші сан үш еселенген біріншісінен 8-ге артық болса,
онда әрбір сан қаншаға тең?
Шешуі: Егер ізделінді
санның біріншісін х,ал екіншісін у деп белгілесек, онда есептің
шарты бойынша мынадай теңдеулер
жүйесі шығады: 
Жауабы: В) 4 және 5
№11.Токарь 3 күн жұмыс
істеп,208 деталь дайындады.Бірінші күні ол нормасын орындап,екінші
күні нормадан 15% асыра орындады,ал үшінші күні екінші
күнге қарағанда 10 детальға артық
дайындады.Токарь әр күн сайын қанша детальдан дайындап еді?
Шешуі:Айталық,токарь
бірінші күні норма бойынша х деталь орындасын.Сонда екінші күні ол 
деталь,ал үшінші
күні (х+0,15 х)+10 деталь орындаған.
Есептің шарты бойынша
:х+(х+0,15 х)+(х+0,15 х)+10=208.
Бұдан,х=60 деталь.
Демек,токарь бірінші күні 60 деталь,екінші күні х+0,15 х=60+60·0,15=69
деталь,ал үшінші күні 79 деталь дайындаған.
Жауабы:60,69,79
№12Фотоаппараттың
бағасын екі рет бірдей процентке арзандатқанда оның
бағасы 300 теңгеден 192 теңгеге түсті.
Фотоаппараттың бағасы әр жолы неше процентке арзандатылған.
Шешуі:Айталық
Фотоаппараттың бағасы
әр жолы х%-ке арзандатылған болсын.Сонда бірінші рет х%-ке 
арзандағаннан
кейін оның бағасы (300-3х) теңге болады.Екінші рет
тағы да х%-ке 
арзандағаннан кейін оның құны
(300-3х)-
теңге болады.
Есептің шарты бойынша:
(300-3х)-
Бұдан х=20 %
Демек,фотоаппарат бағасы әр жолы 20%-ке арзандаған.
Жауабы: 20%
№13Екі таңбалы натурал
санның цифрларының көбейтіндісі 12,ал осы санның
цифрларының квадратарының қосындысы 40.Осы сандарды
табыңыз.
Шешуі:Ізделінді екі
таңбалы 10х+у санының ондықтарының цифры х,ал
бірліктерінің цифры у болсын.Сонда есептің шарты бойынша мынадай
теңдеулер жүйесі шығады
Мұнда х пен у натурал сандар болатындықтан,бұл
жүйенің тек біріншісін ғана қарастырамыз.
Бұдан х=2,y=6
Демек, ізделінді сан 26-ға тең.
Жауабы: 26
№14.Екі таңбалы санды
оның цифрларының қосындысына бөлгенде,бөлінді
6-ға,ал қалдық 2-ге тең болды.Егер осы санды цифрларының
көбейтіндісіне бөлсе,онда бөлінді 5,қалдық 2
болады.Осы санды табыңыз.
Шешуі:Егер ізделінді бірінші
санды х деп,ал екіншісін у деп
белгілесек,онда есептің шарты бойынша мынадай теңдеулер
жүйесі шығады:
Бұдан х=4, y=5
Жауабы: 4;5
№15.Гаражда 54 жүргізуші бар.Егер әр күні гараждағы
60 автомашинаның 25%-і өз ақауларын жөндеу үшін
жұмысқа шықпай қалса,онда бір айда (30
күн)әр жүргізушінің неше бос күні болады?
Шешуі:Айталық әр
жүргізушінің әр айда х бос күні болсын.Сонда
жұмыс күні –(30-х)болады.Есептің шарты бойынша : (30-х)·54=60·0,75·30,
бұдан х=5.
Демек,әр жүргізушінің әр айда 5 бос күні бар.
Жауабы:5 күн
№16Қандай да бір санды 2,5
есе арттырып,онда ізделінді санның
жартысын шегерген кезде берілген саннан 1,99-ға артық болатындай
сан шықты.Ізделінді санды табыңыз.
Шешуі:Егер ізделінді санды х
деп белгілесек,онда есептің шарты бойынша мынадай теңдеу
шығады:
бұдан, х=1,99
Демек, ізделінді сан 1,99-ға тең.
Жауабы:1,99
№17.Моторлы қайық
өзен ағысымен 40 мин,ағынға қарсы сағат
жүзіп,осы уақытта барлығы
Шешуі:Қайықтың
тынық судағы жылдамдығы v км\сағ болсын.
Есептің шарт бойынша:
Бұдан, v=22,5 км\сағ
Демек, қайықтың тынық судағы жылдамдығы
22,5 км\сағ-қа тең.
Жауабы:22,5км\сағ
№18Екі мотоциклші бір мезгілде бір-біріне
қарсы А мен В пунктерінен шыққан.Олардың ара
қашықтығы
Шешуі:Егер бірінші
мотоциклшінің жылдамдығын х км\сағ, ал екіншісінің
жылдамдығын у км\сағ деп белгілесек, онда есептің шартына
сәйкес мынадай теңдеулер жүйесі шығады:
бұдан, х=50 км\сағ, y=40 км\сағ.
Демек бірінші мотоциклшінің жылдамдығы 50 км\сағ,ал
екіншісінің жылдамдығы 40 км\сағ болған.
Жауабы:40 км\сағ және 50 км\сағ
№19Төрт жәшікке бірдей
мөлшерде шай салынған.Әр жәшіктегі шайдан 9 кг-нан
алынды,Сонда барлық жәшіктегі қалған шайды
есептегенде,алғашында бір жәшікке салынған мөлшеріндей
болып шықты.Әрбір жәшікте қанша кг шай болды?
Шешуі:Әрбір жәшікте
х кг-нан шай салынған болсын Қалған шай (х-9)кг болды.Сонда
есептің шарты бойынша:
4(х-9)=4x-36=x,бұдан х=12 кг.
Демек, әр жәшікке 12 кг-нан шай салынған.
Жауабы:
№20 Моторлы қайық
өзен ағысымен 40 мин, ағынға қарсы 1 сағат
жүзіп, осы уақытта барлығы
Шешуі:Қайықтың
тынық судағы жылдамдығы v
км\сағболсын.Есептің шарт бойынша:
Бұдан, v=22,5 км\сағ.
Жауабы: 22,5 км\сағ.
Шектеусіз
периодты ондық бөлшекті
жай
бөлшекке айналдыру
Жай бөлшектің
алымы етіп үтірден кейінгі периодпен қоса алынған саннан
үтір мен период арасындағы санның айырмасын, ал бөлімі
етіп периодта қанша цифр болса, сонша 9 санын және одан кейін үтір
мен период арасынша қанша цифр болса, сонша ноль сандарын жазады.
1) 0,(6)=
=
2) 0,2(31)=
=
№1 (- 
+0,666…)
0,36-2=-1,94
0,666…=0,(6)==
1) -+= - 
+
=
2) 0,36= 
=
=
=0,06
3) 0,06-2= -1,94
№2 
0,8333=0,8(3)= 
=
=
0,4(6)=
=
=
0,41(6)=
=
=
1) -=
2) 
1=
=
=
3) 1,125+1,75-=1
+1
-=1
+1
- 
=2
4) 20,59=
=
5) =
№3 
2,708(3)=2
=2
=2
0,7(6)=
=
=
0,(6)=
=
1) 
+2=2
=2
=3
2) 32,5=
=
=
3) 1
++=1
=1
=
4) 
=
5) =
=1
№4 
0,5
0,(26)=
13,(17)=13
1) 2
-
=2-
=2
=2
2) 213
=
=
=
3) 3
=
=
4) +=
=1
5) 18-13=18
-13
=17
-13=4
6) 4
=
=
7) 1=18=9
№5 
0,42(6)=
=
=
=
=
0,12(3)=
=
=
1) 0,725+0,6+
++=
+
+++=
+
+
+=
++=
=
=
=
2)0,1286
=
=
=
3) 0,0345
=
=
4) -=
-
5) =
=4
Теңдеуді шеш
1. 
=
=
= 
= 
х = 
х = 
х = 5
Жауабы; 5
2. 
=5
ММЖ.; 
>0
(5
)
= 5 x>0
log
5
= log5
= 
=
=0. x
0
x-4-5 = 0. =a
a
-4a-5=0
D=9. a
=-1. a
= 5
-1 = 5
x=25
Жауабы: 25
7b-9-04
Егер sin x + cos x = 1 болса, онда sin x cos x табыңдар?
sin x + cos x = 1
(sin x + cos x) = 1
sinx + 2 sin x cos x + cosx = 1
1+2 sin x cos x = 1
2 sin x cos x = 0
sin x cos x = 0
Жауабы: 0
8b-10-04
Есептеңдер: 
, егер ctg
=
= 
= 
= 
=
==
Жауабы: 3
13b-11-04
ctg
болғанда,
cos2мәнін тап
cos2
1+ctg
sin
=
cos2
Жауабы:
31b-11-04
Есептеңіз: sin2, егер sin+сos=; 0< < 
sin+cos=
(sin+cos)=
sin
+2sincos+cos=
1+sin2=
sin2
Көбейткіштерге жіктеу
7b-12-04
Өрнекті ықшамдаңыз:
7b-3-01
Жауабы: а
cos24
+cos48-cos84-cos12=2cos36cos12-2cos48
cos36=
=2cos36(cos12-cos48)=2cos362sin30sin18=
=
=
=
=
=
=
=sin30
Жауабы:
Бөлшектің
бөліміндегі ирроционалдықтан арылыңыздар:
№1. 
Жауабы: 
№2.
Жауабы:
№3.
Жауабы: 1
№4
Жауабы:
№5.
Жауабы: 
№6.
Жауабы: 
№7.
Жауабы: 
№8.
Жауабы: 
Жауабы: 
№10.
Жауабы: Х
Есепте
№11.
Жауабы : 6
№12. 
Жауабы: 2
№13.
Жауабы: 5
Жауабы: 11
№15.
Жауабы: 
№16.Бөлімінің
түйіндесіне көбейтіп табатынымыз:
Жауабы: -10
№17.
Жауабы: 
Теңдеуді
шешіңдер
№1. 
Т-у: 
Жауабы:
-6
№2
Теңдеудің
анықталу облысы Х≠0
Пропорция пайдаланамыз
х=1
Жауабы: 1
№3.
немесе 
Жауабы:
№4. х3-5х2+9х-5=0
Берілген теңдеу мына теңдеуге мәндес:
х3-5х2+9х-5=0
(x-1)(x2-4x+5)=0
x-1=0 немесе x2-4x+5=0
D=в2-4ас=(-4)2-4.5=16-20=-4<0
D< болса, онда теңдеудің түбірі жоқ.
х-1=0
х=1
Жауабы: 1
№5.
Шешуі: Теңдеудің
анықталу облысы: х=3-2,x=8; x=10;x=11.Есептің шартына табатынымыз:
Демек,берілген теңдеудің екі түбірі бар:
Х1=9,6;X2=14
Жауабы: 9,6;
14
№6.
Шешуі: Теңдеудің анықталу
облысы: х=0,Теңдеудің топтастырып алатынымыз.
Айталық
Сонда 4(y2-2)+12y-47=0
4y2+12y-55=0
Х-ке қарағанда екі теңдеу аламыз:
Жауабы:
№7.2+5+8+11...+х=155
Шешуі: Бұл теңдеуді шешу
үшін 2,5,8,11,14 ... арифметикалық прогрессияның
мүшелері деп аламыз.
a1=2
a2=5
d=3
an=x
S=115
an=a1+d(n-1)
2+3(n-1)=x
2+3n-3=x
3n=x+1
n=
n = 
Sn=
2x + 2+ x2 + x – 930 =0
X2 + 3x – 928 = 0
D = 3721
X1 = 
X2 = 
X=29
Жауабы: 29
№8.
2+4+6+....2х=556
2;4;6;... 2х –арифметикалық прогрессия, d=2
аn=a1+a1+(n-1)d
2x=2+(n-1).2
2x=2(1+n-1)
X=n
X=7
Жауабы: 7
№9
arcsin a =arcсos 
формуласын пайдаланамыз.
теңдіктің екі
жағында дәрежеге шығамыз:
немесе
Жауабы: -1;0.
№10. 
формуласын қолданып
ді пайдаланамыз;
Жауабы:
№11.
= 
tgx- 3
tgx 
x 
tg2 x + 3tg x +4 tgx -12 -18 =0
tg2x +7tgx -30= 0 , tgx =a
a2 +7a -30 =0
D = 49+ 120 =169 ›0
a1 = 
a2= 
tgx = -10
tgx
x = - arctg 10 + ПK , K€z
Жауабы: - arctg 10 + ПК,
К €z
№12.
сos2 x + cos 22 x + cos2 3x +cos2
4x =2
сos
2 x = 
болғандықтан ;
сos2
x +cos4x +cos 6x + cos 8x =0
сos2x
+cos 8x +cos4x +cos6x =0
2 cos 5x cos3x +2cos5xcosx =0
сos5x
2cos5 x * cos2 x * cosx =0
Бұдан, 1. cos5x =0, 5x1
= 
, x1 = 
€z
2. cos2 x =0, 2x2 = 
x2 = 
, k €z
3. cos x =0, x3 = 
+ 
n, m €z
Жауабы: + 
, m €z 
+ 
, k €z, 
+ 
, n €z
№13.
X2 log х 27 log9 x
=x+4, MMЖ х ›0
х
= x +4
3 x 2 – 2 x -8 = 0
D = 25,
X1 = - , x 2
= 2
Жауабы: 2
lg 2 x = - lg x, m/k:
x1* x2
lg 2 x + 3lg x – 4 = 0 , MMЖ: х › 0
Lg x = a,
A 2+
D= 25
а1 = - 4, a2 =1
lg x = -4 lgx = 1
X = 10 -4 = 
* 10 = 
= 0,001
Жауабы: 0,001
№14
ММЖ: х>0
2
2x-log2x=7
2x=7
2x=7
log 2x=7
log2x=-4
x=2-4=
Жауабы:
№15
3log
x=2log
X2
3logx=
; ММЖ:Х>0
3log3x
log3x=0
x=30=1 
log
x=32=9
Жауабы:
1;9
№16
Х=-1
Жауабы: -1
3logx4+2log4x4+3log16x4=0
ММЖ: x≠1, 4x≠1,x>0
logав=
формуласын қолданып:
4t2+8t+3=0,
Д1=4, t1=-; t2=-
Демек, 1) log4
; x=4-
2)log4x=-
Жауабы: 
Өрнекті
ықшамдаңыз:
№1.
Жауабы: a
№2
Log 32 * Log 43 * * Log5 4 * Log6 5
өрнектің мәнін есептеңіз.Шешуі: Логарифмнің
қасиеттерінентабанымыз:
Log3 2* Log 43* Log 54* Log65=
Log3 2* 
* 
* Log 6 5= Log 32* 2 Log 62= Log 62.
Демек, өрнектің мәні Log6 2- ге тең.
Жауабы: Log 62
Sin 90 +Sin 490+ … + Sin 2890+ Sin 3290
қосындысын табыңдар.
Шешуі: Sin 90 + Sin (90+
400) + ... + Sin (90+ 8* 400)= 
= 
= 
= 0
Жауабы: 0
Cos 2 3 0 + Cos 2 117 0+ Cos
21230 = 
= 
+ 
+ 
= 
= 
= 
= 
= =1,5
Жауабы: 1,5
№5
Жауабы:1
№6
Жауабы: 2
№7 Есепте
Жауабы:
№8 Есепте: 
Жауабы: 9
№9
Жауабы: 8
№10.
т\к:
37+2x2-5-2x2=
32=2
16=
Жауабы: 16
№11.
Жауабы: 13
Теңсіздікті шешу:
№1. 
(x-1)(x+2)2=0 (x+1)5≠0
x-1=0, x+2=0 x+1≠0
x=1; x=-2 x≠-1
-2 -1 1 Х
Жауабы:х€(-∞;-2)U(-2;-1)U(1;+∞)
№2 
x2-4x-12=0
Д=64;
x1=-2; x2=6
x-2≠0
x≠2
-2 2 6 Х
Жауабы:х€(-∞;=2]U(3;]
№3.
Х3-3х2-х+3=x2(x-3)-(x-3)=(x-3)(x2-1)=(x-3)(x-1)(x+1);
X2+3x+2=x2+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2);
-2 -1 1 3 Х
Жауабы:х€(-2;-1)U(-1;1)U(3;+∞)
№4.
Х2+Х+2=0
Д<0-түбірі жоқ.
Х2(x2-3x-4)=0;
X2=0;немесе x2-3x-4=0;
X1=0 Д=25; x2=-1; x3=4;
X2(x-4)(x+1)<0;
-1 0 4 Х
Жауабы:х€(-1;0)U(0;4)
№5. х
Х-3+
1 2
Х
Жауабы:х€(-∞;1)U{2}
№6. 
-2 -1 0 7 Х
Жауабы: х€(-∞;2]U(-1;0]U(7;+∞)
№7.
- 1 0
1 2 Х
Жауабы:X€(-∞;-1)U(0;]U(1;2)
№8.
Х2-5х+4=t деп, жаңа
айнымалысын енгіземіз:
-2 - -1 1 2 3 4 6 7 Х
Жауабы: х€(-∞;-2)U(-1;1)U(2;3)U(4;6)U(7;+∞)
Функцияның
ең үлкен мәнін және ең кіші мәнін
табуға да есептер жиі кездеседі.
№1.
өрнегінің ең үлкен мәнін табайық
Шешуі:=у деп белгілеп, х-ке қатысты квадрат таңдеу
аламыз.
2х2+9х+11=3x2y+11xy+12y
(3y-2)x2+(11y-9)x+12y-11=0
Теңдеуінің шешімі болуы үшін D
болуы керек.
D=(11y-9)2-4(3y-2(12y-11)=-23y2+30y-7
23y2-30y+7
Жауабы:1
№2.X2+2y2+z2+xy-xz-yz=1
теңдеуін қанағаттандыратын х-тің ең кіші
мәнін табу керек.Шешуі: z-ке қатысты
Z2-(y+x)z+(x2+2y2+xy-1)=0 теңдеуін
шешеміз:Теңдеудің шешімі бар болуы үшін Dболуы керек.
D=(y+x)2-4(x2-2y2+xy-1)=-7y2-3x2-2xy+4 немесе 7y2-2xy+3x2-4
Бұл теңсіздікті у-ке қатысты шешкенде
D=x2(3x2-4)=-20x2+28
5x2-7
Жауабы:
2000 жылғы тест тапсырмаларында берілген №2081,2082,2083,2084
есептердің біреуін шығарып көрейік.
№2083 
функциясының ең үлкен мәнін
табыңыз
X2+21=yx-2y
Шешуі:
X2-yx+21+2y=0
D=y2-4(21+2y)=y2-84-8y
Y2-8y-84
Y2-8y-84=0
D=64+336=400
Y1=
Y2=
Жауабы:
ең үлкен мәні: 14
№2084
функциясының ең кіші мәнін табыңыз:
Шешуі:
X2-10x+=(2x-15)
X2-10x+21-2xy+15=0
X2-(10+2y)x+21+15y=0
D=(10+2y)-4(21+15y)=100+4y+4y2-84-60y
4y2-20y+16
Y2-5y+4
D=25-16=9
Y1=
y1=
Жауабы:
Ең кіші мәні:1
Функцияның
анықталу облысын табуға есептер көптен беріліп,олардың
шығарыл жолы көрсетілгенімен функцияның өзгеру облысын
табу жете қарастырылмайды.
Y=ƒ(x)функциясының өзгеру облысы
дегеніміз у-тің қабылдай алатын мәндері.Оны табу үшін
көбінесе берілген функцияның графигін пайдалануға
болады.Ал,кез келген функцияның графигін сала білу де оңай емес.
Функция өзінің
мәндерінің облысында шектеусіз не шектеулі болады.
Мысалы:у=х2
функциясының өзгеру облысы (-∞;∞) аралығында
шектеусіз.Ал,у=sinx функциясы [-1;1]аралығында шектеулі.
у=х2-6х+11 функцияның өзгеру облысын табу керек.
Ол үшін теңдіктің оң жағындағы
квадраттық үшмүшеден екімүшеліктің толық
квадратын айырамыз.
у=х2-6х+11=х2-6х+9+2=(х-3)2+2
Бұл функцияның өзгеру облысы: [2;∞)
функциясының өзгеру облысын табу керек.
Х-ті у арқылы өрнектейміз.Ол үшін берілген
функциядағы х-тің орнына у-ті, у-тің орнына х-ті қойып
өрнекті ықшамдаймыз.
Х(у2-4)=y2-1
Xy2-4x-y2+1=0
(x-1)y2=4x-1
Енді х пен у-тің орнына қайта ауыстырамыз
Сонда :(4у-1)(у-1) Жауабы:(-∞;]U(1;∞)
4у-1=0 y-1=0
Y= y=1
+
X
2004 жылғы тест жинағындағы бірнеше есептерді
шығарып көрсетейік.
У=2-3sinx функциясының өзгеру облысын табыңыз.
У-тің орнына х-ті,х-тің орнына у-ті қойып,у-ті х
арқылы өрнектейміз.
Х=2-3siny
3siny=2-x
Siny=
Y=arcsin
2-x
x
Жауабы:
№18
У=3x-2функциясының
өзгеру облысын табыңыз.хпен-у тің орнын ауыстырамыз.
Х=3y-2
3y=x+2
Y=log3(x+2)
X+2>0
x>-2
Жауабы.
(-2;∞)
Sin2=
формуласын пайдаланып синустың дәрежесін төмендетеміз.
Y=3+1-cos6 x
X=4-cos6y
6y=arcos(4-x)
-1
3
5
x
Жауабы:[3;5]
У=(sinx+cos x)2функциясын өзгеру облысын табыңыз.
Әуелі теңдіктің оң жағын
түрлендіріп,ықшамдаймыз.
Y=sin2x+2 sin x cos x +cos2x
Y=1+2sin xcos x
Y=1+sin 2x
Sin2y=x-1
2y=arcsin (x-1) -
1≤аrcsin (x-1)≤1
Функцияның туындысын табу
1) Егер х = 1 болса, онда 
функциясының
бірінші ретті туындысын тап.
Шешуі: 
Жауабы: 0,5
2) 
Жауабы: 
3) 
Жауабы: 
4) 
Жауабы: 
5) 
Жауабы: 
6) 
7) 
Жауабы: 
8) 
Жауабы: 
9) 
Жауабы: 
Алғашқы
функциясын тап:
1. 
Жауабы:
2. 
;
Жауабы:
7077 Тізбек 
реккурентті
түрде берілген
, 
онда 
мәнін
табыңдар
Шешуі: 
Жауабы: 132
0127 Тізбек 
реккурентті
түрде берілген
, 
, 
мүшесін тап
Шешуі: 
Жауабы: 
Мазмұны
1. Алғы сөз
2. Мәтінді есеп . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
3. Шектеусіз периодты
ондық бөлшекті жәй бөлшекке келтіру . . . . . .. . . .
. . . . . . . . . .
4. Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан
құтылу . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Қысқаша
көбейту формуласы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Пропорция . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
7. Бір айнымалысы бар
теңдеулерді шешу . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Прогрессия . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Тригометриялық
теңдеу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Логарифмдік теңдеу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Тригонометрия . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
12. Теңсіздікті шешу .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13. Функцияның ең
үлкен және ең кіші мәндерін табу . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
14. Функцияның
өзгеру облысын анықтау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
15. Туынды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
16. Алғашқы функция
...................................................
17. Реккурентті тізбек . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . .
.. .. .